Mémoire présenté et défendu publiquement en vue de l'obtention du grade de Licencié en Pédagogie Appliquée, agrégé de l'Enseignement Secondaire en Physique.

RESUME

L'équation de Schrödinger, concçue par le physicien autrichien Erwin Sch¨rödinger en 1925, est une équation fondamentale en mécanique quantique.

Le but principal de sa résolution analytique est de déterminer les valeurs propres d'un opérateur linéaire défini dans un domaine de l'espace de Hilbert. Malheureusement, le spectre complet ne peut être calculé algébriquement que dans très peu de cas particuliers appelés opérateurs complètement algébriques.

Très récemment, une autre catégorie d'opérateurs dits opérateurs partiellement algébriques a été découverte.

Il a donc semblé utile (et tel a été l'objectif de ce travail) de prouver la résolubilité partielle de quelques hamiltoniens partiellement algébriques en mécanique quantique non relativiste.

Dans le premier chapitre, après avoir souligné quelques concepts de base sur les opérateurs complètement algébriques, on a montré la différence entre la mécanique quantique relativiste et mécanique quantique non relativiste. On a également vérifié les propriétés de ces hamiltoniens qui prouvent la réalité des valeurs propres ainsi que la résolubilité complète du hamiltonien de l'oscillateur harmonique quantique à une dimension.

Dans le second chapitre, on a pu traiter deux cas d'hamiltoniens partiellement algébriques dont le hamiltonien de l'oscillateur anharmonique sextique quantique à une dimension et le hamiltonien hyperbolique complexe. Par là, on a vérifié leur harmiticité, leur invariance sous l'action combinée des opérateurs de parité P et du renversement du temps T ainsi que leur résolubilité partielle.

Dans le troisième et dernier chapitre, on a prouvé les trois conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un hamiltonien matriciel trigonométrique du type de Razav y préserve l'espace vectoriel.