Mémoire présenté et défendu publiquement en vue de l'obtention du grade de Licencié en Pédagogie Appliquée, Agrégé de l'Enseignement Secondaire en Mathématiques.

RESUME

Ce travail présente quelques aspects géométriques de la métrique riemanienne sur les variétés différentielles. Il est subdivisé en trois chapitres.
Dans le premier chapitre, nous présentons les généralités sur les variétés différentielles.
Nous demontrons quelques exemples de ces variétés différentielles et développons quelques calculs. Nous présentons aussi d'une façon brève les notions relatives aux tenseurs car indispensables dans le second chapitre.

Dans le deuxième chapitre nous présentons les variétés riemanniennes : le point de départ est la notion de métrique riemannienne sur une variété différentielle. Dans notre travail, nous nous intéressons plus à la compréhension et à la présentation des formules explicites de la métrique riemannienne sur quelques variétés connues, à savoir la variété différentielle standard R", la sphère S" et la surface paramétrée de R².

Enfin dans le troisième chapitre, il s'agit du calcul sur les variétés riemanniennes.
Pour cela nous présentons les notions de géodésique et de distance sur une variété riemannienne. Nous donnons quelques définitions et propriétés du calcul différentiel sur les variétés riemanniennes. Nous terminons par montrer que la géodésique est une courbe minimisante sur une variété riemannienne.