Mémoire présenté et défendu publiquement en vue de l'obtention du grade de Licencié en Pédagogie Appliquée, Agrégé de l'Enseignement Secondaire en Mathématiques

Résumé,

Les problèmes ne sont pas formulés de la même façon. De ce fait, il existe des problèmes directs et ceux appelés inverses. Un problème direct est un problème dans lequel on se contente de déterminer les effets d'un système connaissant ses causes.
Quant au problème inverse, on se contente de déterminer les causes qui ont agi sur un système si on connaît les effets. Il s'agit généralement d'une situation où on est dans l'ignorance au moins partielle du système.

D'après Jacques Hadmard (Mathématicien français : 1865 - 1963), un problème bien posé est un problème dont la solution existe, celle-ci est unique et dépend continûment des données. Seul un problème bien posé peut modéliser correctement un phénomène physique.
Un problème qui ne possède pas les propriétés ci-dessus (c'est-à-dire si au moins une des conditions énumérées n'est pas vérifiée), est dit mal posé.

Dans la plupart des cas, un problème direct est bien posé. Les problèmes inverses ont un caractère mal posé, il faut alors les transformer convenablement en problèmes bien posés (régularisation) ou utiliser la méthode d'inversion stochastique avant d'envisager les résolution numérique.

Les problèmes inverses sont trouvés dans plusieurs domaines scientifiques en particulier dans l'étude des systèmes complexes pour lesquels on n'a accès qu'à un petit nombre de mesures.

Nous avons traité quelques exemples de problèmes inverses comme les problèmes inverses en thermique, équation de la chaleur rétrograde, identification d'un coefficient dans un modèle stationnaire, problèmes inverses en hydrogéologie, en gravimétrie, ...